Asal Sayılar, OBEB ve OKEK

**.::KQBR@KR@L::.** · 26-01-2008, 10:29

Asal Sayılar OBEB ve OKEK

Asal sayılar

1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı

2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani

2 sayısı dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır. Asal sayılar kümesi

{ 2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

... }

dir.

Fermat Teoremi' ne göre

n asal sayı olmak üzere

2n - 1 şeklinde yazılabilen sayılar asal sayıdır. Örneğin

22 - 1

23 - 1

25 - 1

27 - 1

211 - 1

...

sayıları

asal sayıdır.

Aralarında asal sayılar:

1' den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara

aralarında asal sayılar adı verilir. Birden fazla sayının aralarında asal olması için

bu sayıların asal sayı olması gerekmez. Asal sayılar

kesinlikle aralarında asal sayılardır. Bununla birlikte

10 ve 81 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen

aralarında asal sayılardır. Diğer taraftan

10 ile 8 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen

2 ortak bölenleri olduğu için

aralarında asal sayılar değildir. Bir sayı aralarında asal iki sayıya bölünebiliyorsa

bu iki sayının çarpımına da bölünür.

Örneğin

· 2

9

· 10

81

· 5

29

· 3

8

· 2

10

35

sayı grupları

ortak tam bölenleri olmadığı için aralarında asal sayılardır.

Asal olmayan sayılara da bileşik sayı adı verilir. Dolayısıyla

bileşik sayıların 1 ve kendisinden başka bölenleri vardır. Örneğin

10 sayısı bir bileşik sayıdır. Çünkü

10 sayısının 1 ve kendisinden başka

2 ile 5 böleni vardır. Buradan

asal olmayan 10 sayısı

birer asal sayı olan 2 sayısı ile 5 sayısının çarpımı olarak yazılabilir. 2 ile 5 sayısına

10 sayısının asal çarpanı veya böleni denir. Yani

bileşik bir sayı

asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir.

Örnek 1:

Aşağıdaki sayı gruplarından hangisi aralarında asaldır?

a) 4

20 b) 6

21 c) 27

36

39 d) 8

24

36 e) 3

5

25

Çözüm:

a) 4 ile 20' nin ortak böleni vardır ve bu da 2 ile 4' tür.

b) 6 ile 21' in ortak böleni vardır ve bu da 3' tür.

c) 27

36 ve 39' un ortak böleni vardır ve ortak bölen 3' tür.

d) 8

24 ve 36' nın ortak böleni vardır ve ortak bölen 2 ve 4' tür.

e) 3

5 ve 25' in ortak böleni yoktur. Çünkü

bu üç sayıyı birden bölen 1' den başka sayı yoktur. Dolayısıyla

bu sayılar aralarında asaldır.

Örnek 3:

a

b ve c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere

ab ile bc iki basamaklı aralarında asal sayılardır. Buna göre

ab + bc toplamının en küçük değeri kaçtır?

Çözüm:

Toplamın en küçük olması için

sayıları en küçük almalıyız. Buna göre

ab = 21 olurken. bc = 13 olmalıdır. Dolayısıyla

ab + bc = 21 + 13 = 34 olur.

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

Her bileşik sayı

asal sayıların veya asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu işlemi yapmak için

ilgili sayının sırasıyla en küçük asal sayıdan başlanarak bölünebilmesi araştırılır.

Örnek 1:

120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

120 = 23 . 31. 51

Örnek 2:

500 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:

500 = 22 . 53

BİR SAYMA SAYISININ TAMSAYI BÖLENLERİ

Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı:

Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a

b ve c olmak üzere

A = am . bn . cp

şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise

A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı

( m + 1 ) . ( n + 1 ) . ( p + 1 )

dir. Bu sayıya

1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir.

Bir sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı:

Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a

b ve c olmak üzere

A = am . bn . cp

şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise

A sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı

2 . ( m + 1 ) . ( n + 1 ) . ( p + 1 )

dir. Yani

A sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı

pozitif bölenlerinin sayısının 2 katıdır. Bu sayıya

1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir.

Örnek 1:

120 sayısının

a) Kaç tane pozitif böleni vardır?

b) Kaç tane tamsayı böleni vardır?

Çözüm:

a) 120 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli

120 = 23 . 31. 51

olduğundan

pozitif bölenlerinin sayısı

( 3 + 1) . ( 1 + 1 ) . ( 1 + 1 ) = 4 . 2 . 2 = 16

dır.

b) 120 sayısının tüm bölenlerinin sayısı

pozitif bölenlerinin sayısının 2 katı olduğuna göre

2 . 16 = 32 dir.

Örnek 2:

500 . 5y sayısının asal olmayan 40 tane tamsayı böleni varsa

y kaçtır?

Çözüm:

500 . 5y = 22 . 53 . 5y

= 22 . 53 + y

2 tane asal böleni olduğundan

tüm bölenlerinin sayısı

40 + 2 = 42

dir. Buradan

pozitif bölenlerinin sayısı

tüm bölenlerinin sayısının yarısı olduğundan

21 = ( 2 + 1 ) . ( 3 + x + 1 )

21 = 3 . ( 4 + x )

21 = 12 + 3x

3x = 21 - 12

3x = 9

x = 3 olur.

OBEB (ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ)

OBEB

iki veya daha çok sayıyı aynı anda bölebilen en büyük sayıdır. Verilen sayıların OBEB' ini bulmak için

sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve ortak asal çarpanların en küçük üsleri alınır.
1. Aralarında asal iki sayının OBEB' i 1' dir. Yani

a ile b aralarında asal iki sayı ise

(a b)OBEB = 1 dir.
2. Aynı zamanda

ikiden çok sayıdaki sayılardan en az iki tanesi aralarında asal ise

bu sayıların OBEB' i 1' dir. Yani

a

b

c

d

e sayılarından a ile b aralarında asal ise

(a b c d e)OBEB = 1 dir.
3. İki veya daha fazla sayının ortak tam bölenlerinin sayısı

OBEB' inin bölenlerinin sayısına eşittir.
4. Ardışık iki sayma sayısının OBEB' i 1' dir. Yani

a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere

(a b)OKEK = 1 dir.

Örnek 1:
18

30

42 sayılarının OBEB' i kaçtır?

Çözüm:

1. Yol:

18

30 ve 42 sayılarının üçünü birden bölen sayılar 2 ve 3 tür. Dolayısıyla

(18

30

42)OBEB = 2 . 3 = 6 dır.

2. Yol:

18 = 2.32

30 = 2.3.5

42 = 2.3.7

Her üç sayının ortak asal çarpanlarının en küçük üslüsü alınmalıdır. Dolayısıyla

(18

30

42)OBEB = 2.3 = 6 dır.

Örnek 2:

100 ile 120 sayılarının OBEB' i kaçtır?

Çözüm:

100 = 22.52

120 = 23.3.5

Her iki sayının ortak asal çarpanlarının en küçük üslüsü alınmalıdır. Dolayısıyla

(100

120)OBEB = 22.5 = 20 dir.

Örnek 3:

6

15 ve 29 sayılarının OBEB' i kaçtır?

Çözüm:

İkiden çok sayıdaki sayıların en az iki tanesi aralarında asal ise

bu sayıların OBEB' i 1 olduğundan

verilen sayılardan 6 ile 29 sayısı veya 15 ile 29 sayısı aralarında asal olduğu için

(6

15

29)OBEB = 1

dir.

Örnek 4:

100 ile 120 sayılarının ortak tam bölenlerinin sayısı kaçtır?

Çözüm:

(100

120)OBEB = 22.51 = 20

olduğundan

pozitif bölenlerinin sayısı

( 2 + 1) . ( 1 + 1 ) = 3 . 2 = 6

bulunur. Buradan

tüm bölenlerin sayısı

pozitif bölenlerin sayısının iki katına eşit olduğundan

2 . 6 = 12 olur.

Örnek 5:

Boyutları 9 cm

12 cm

15 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi

boş yer kalmayacak şekilde en büyük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir?

Çözüm:

Kutu en büyük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden

9 cm

12 cm

15 cm sayılarının OBEB' i bulunmalıdır. Bu nedenle

(9

12

15)OBEB = 3 tür. Böylece

en büyük boyutlu küpün bir kenarı = 3 cm olur. Bir kenarı 3 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı

Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = 9.12.15/3.3.3 = 3.4.5 = 60

tane olur.

Örnek 6:

Boyutları 24 m ve 60 m olan dikdörtgen şeklindeki bir arsanın çevresine eşit aralıklarla en az sayıda kaç ağaç dikilebilir?Çözüm:

İki ağacın arasındaki uzaklık

dikdörtgenin boyutlarının OBEB' i olur. Dolayısıyla

(24

60)OBEB = 12

Ağaç Sayısı = Çevre / 12 = 2 . (24 + 60) / 12 = 84 / 6 = 14

dir.

OKEK (ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ)

İki veya daha çok sayının her birine bölünen en küçük sayıdır. Verilen iki veya daha çok sayının OKEK' ini bulmak için

sayılar asal çarpanlarının kuvvetleri cinsinden yazılır ve ortak asal çarpanlarından üsleri en büyük olanlarla ortak olmayan asal çarpanlarının tümü alınarak çarpılır.
1. Aralarında asal sayıların OKEK' i

bu sayıların çarpımlarına eşittir. Yani

a ile b sayısı aralarında asal sayılar ise

(a b)OKEK = a . b dir.
2. a ve b iki doğal sayı olmak üzere

bu iki doğal sayının OBEB' i ile OKEK' inin çarpımı

bu iki doğal sayının çarpımına eşittir. Yani

a ve b doğal sayısı için
a . b = (a b)OKEK . (a b)OBEB dir.
3. a

b

c

d sayma sayıları olmak üzere

(a/cb/d)OKEK = (a b)OKEK / (c d)OBEB dir.
4. a ve b iki doğal sayı olmak üzere

(a b)OKEK = x ve (a b)OBEB = y
ise

a ile b sayılarının toplamının en büyük değeri
x + ydir.
5. Ardışık iki sayma sayısının OKEK' i bu iki sayının çarpımına eşittir. Yani

a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere

(a b)OKEK = a . b dir.
6. a ile b sayma sayıları olmak üzere

a < b ise

(a b)OBEB <= a <= b <= (a b)OKEK dir.

Örnek 1:

18 ile 45 sayılarının OKEK' ini bulunuz.

Çözüm:

18 = 2 . 32

45 = 32 . 5

olduğundan

(18

45)OKEK = 32 . 2 . 5 = 90 olur

Örnek 2:

a ve b doğal sayılarının OKEK' i 48 ve OBEB' i 8 ve bu sayılardan biri 16 ise

diğer sayı kaçtır?

Çözüm:

a = 16 olsun. (16

b)OKEK = 48 ve (16

b)OBEB = 8 olduğuna göre

a . b = (a

b)OKEK . (a

b)OBEB

16 . b = 48 . 8

b = 24

bulunur.

Örnek 3:

Herhangi iki doğal sayının OKEK' i 120 ve OBEB' i 8 olduğuna göre

bu sayıların toplamı en çok kaç olabilir?

Çözüm:

İki doğal sayının toplamı en çok bu iki sayının OBEB' ile OKEK' inin toplamı kadar olabileceğinden

120 + 8 = 128dir.

Örnek 4:

Boyutları 2 cm

4 cm

6 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi

boş yer kalmayacak şekilde en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir?

Çözüm:

Kutu en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden

2 cm

4 cm

6 cm sayılarının OKEK' i bulunmalıdır. Bu nedenle

(2

4

6)OKEK = 12 tür. Böylece

en küçük boyutlu küpün bir kenarı = 12 cm olur. Bir kenarı 12 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı

Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = 12.12.12/2.4.6 = 6.3.2 = 36

tane olur.

Örnek 5:

a

b

c asal sayılar olmak üzere

x = a2 . b3 . c5 ve y = a5 . c2

ise

(x

y)OBEB = ? ve (x

y)OKEK = ? bulunuz.

Çözüm:

(x

y)OBEB = a2 . c2 = (a . c)2

(x

y)OKEK = a5 . b3 . c5olur.

Örnek 6:

Ayşe toplarını 2' şer 2' şer

4' er 4' er

6' şar 6' şar sayarsa

her defasında 1 top artıyor. Ayşe' nin en az kaç topu vardır?

Çözüm:

Top sayısı = (2

4

6)OKEK + 1 = 12 + 1 = 13 tür.

Örnek 7:

2

3

4 sayılarına bölündüğünde 1 kalanını veren en büyük 2 basamaklı doğal sayı kaçtır?

Çözüm:

[(2

3

4)OKEK] . k + 1 <= 99

24 . k + 1 <= 99

k = 4 olur. Buradan

sayı

24 . 4 + 1 = 96 + 1 = 97

bulunur.

Örnek 8:

İki yangın sireni 5/7

7/8 saat aralıklarla alarm vermektedirler. Bu iki yangın sireni aynı anda en son Cuma günü sabah 04.00' de alarm verdiklerine göre

hangi gün saat kaçta tekrar birlikte alarm verirler?

Çözüm:

Yangın sirenleri 5/7

7/8 sayılarının OKEK' lerinde aynı anda alarm verirler. Dolayısıyla

(5/7

7/8)OKEK = (5

7)OKEK / (7

8)OBEB = 35 / 1 = 35 saat

sonra tekrar alarm verirler. O halde

Cumartesi günü saat 15.00' de tekrar alarm vereceklerdir.

Örnek 9:

Bir a doğal sayısı 5/3

6 sayılarına bölündüğünde sonuç tamsayı olduğuna göre

bu koşula uyan en küçük a sayısı kaçtır?

Çözüm:

5/3 ile 6' nın OKEK' ini bulmalıyız. Bu takdirde

(5/3

6)OKEK = (5

6)OKEK / (3

1)OBEB = 30 / 1 = 30 olur.

Örnek 10:

OKEK' i 7 olan a ve b doğal sayılarının toplamlarının en küçük ve en büyük değerlerinin çarpımı kaç olur?

Çözüm:

(a

b)OKEK = 7 ve sayıların farklı olmadıkları söylenmediğine göre

a = 7 ve b = 7

alınabilir. Bu durumda

a ile b' nin toplamının en büyük değeri

a + b = 7 + 7 = 14 ... (1)

olur. Diğer taraftan

a = 1 ve b = 7 alınırsa

a ile b' nin toplamının en küçük değeri

a + b = 1 +7 = 8 ... (2)

olur. Buradan

(1) ile (2) nin çarpımı

14 . 8 = 112
bulunur.

~~**ERZRM==>25**~~ · 27-01-2008, 01:26

Kardeş bir sürü konu eklenmişsin çok saol bizler için gerçekten çooook önemli konular.

Konu Seçenekleri
Yazdırılabilir Sümü Göster Sayfayı E-Mail'le gönder
Modları Göster
Normal Mod Ağaç Modununa Geç Otomatik Konu Moduna Geç

Okuduğunuz Konuya Benzer Konular
Konu	Konuyu Açan	Forum	Cevaplar	Son Mesaj
Rasyonel Sayılar	O'NEAL	Matematiksel	5	11-08-2008 00:47
Matematik Terimler Sözlüğü	O'NEAL	Matematiksel	4	15-12-2007 19:38
Asal Halkalarda Türevler	O'NEAL	Matematiksel	0	16-10-2007 20:26
Asal Sayılar	O'NEAL	Matematiksel	0	16-10-2007 20:05
Obeb - Okek	O'NEAL	Matematiksel	0	16-10-2007 19:56

26-01-2008, 10:29	#1 (permalink)
.::KQBR@KR@L::.	Asal Sayılar, OBEB ve OKEK Asal Sayılar OBEB ve OKEK Asal sayılar 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani 2 sayısı dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır. Asal sayılar kümesi { 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 ... } dir. Fermat Teoremi' ne göre n asal sayı olmak üzere 2n - 1 şeklinde yazılabilen sayılar asal sayıdır. Örneğin 22 - 1 23 - 1 25 - 1 27 - 1 211 - 1 ... sayıları asal sayıdır. Aralarında asal sayılar: 1' den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar adı verilir. Birden fazla sayının aralarında asal olması için bu sayıların asal sayı olması gerekmez. Asal sayılar kesinlikle aralarında asal sayılardır. Bununla birlikte 10 ve 81 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen aralarında asal sayılardır. Diğer taraftan 10 ile 8 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen 2 ortak bölenleri olduğu için aralarında asal sayılar değildir. Bir sayı aralarında asal iki sayıya bölünebiliyorsa bu iki sayının çarpımına da bölünür. Örneğin · 2 9 · 10 81 · 5 29 · 3 8 · 2 10 35 sayı grupları ortak tam bölenleri olmadığı için aralarında asal sayılardır. Asal olmayan sayılara da bileşik sayı adı verilir. Dolayısıyla bileşik sayıların 1 ve kendisinden başka bölenleri vardır. Örneğin 10 sayısı bir bileşik sayıdır. Çünkü 10 sayısının 1 ve kendisinden başka 2 ile 5 böleni vardır. Buradan asal olmayan 10 sayısı birer asal sayı olan 2 sayısı ile 5 sayısının çarpımı olarak yazılabilir. 2 ile 5 sayısına 10 sayısının asal çarpanı veya böleni denir. Yani bileşik bir sayı asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. Örnek 1: Aşağıdaki sayı gruplarından hangisi aralarında asaldır? a) 4 20 b) 6 21 c) 27 36 39 d) 8 24 36 e) 3 5 25 Çözüm: a) 4 ile 20' nin ortak böleni vardır ve bu da 2 ile 4' tür. b) 6 ile 21' in ortak böleni vardır ve bu da 3' tür. c) 27 36 ve 39' un ortak böleni vardır ve ortak bölen 3' tür. d) 8 24 ve 36' nın ortak böleni vardır ve ortak bölen 2 ve 4' tür. e) 3 5 ve 25' in ortak böleni yoktur. Çünkü bu üç sayıyı birden bölen 1' den başka sayı yoktur. Dolayısıyla bu sayılar aralarında asaldır. Örnek 3: a b ve c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere ab ile bc iki basamaklı aralarında asal sayılardır. Buna göre ab + bc toplamının en küçük değeri kaçtır? Çözüm: Toplamın en küçük olması için sayıları en küçük almalıyız. Buna göre ab = 21 olurken. bc = 13 olmalıdır. Dolayısıyla ab + bc = 21 + 13 = 34 olur. SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI Her bileşik sayı asal sayıların veya asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu işlemi yapmak için ilgili sayının sırasıyla en küçük asal sayıdan başlanarak bölünebilmesi araştırılır. Örnek 1: 120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. 120 = 23 . 31. 51 Örnek 2: 500 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. Çözüm: 500 = 22 . 53 BİR SAYMA SAYISININ TAMSAYI BÖLENLERİ Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı: Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a b ve c olmak üzere A = am . bn . cp şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı ( m + 1 ) . ( n + 1 ) . ( p + 1 ) dir. Bu sayıya 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir. Bir sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı: Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a b ve c olmak üzere A = am . bn . cp şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise A sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı 2 . ( m + 1 ) . ( n + 1 ) . ( p + 1 ) dir. Yani A sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı pozitif bölenlerinin sayısının 2 katıdır. Bu sayıya 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir. Örnek 1: 120 sayısının a) Kaç tane pozitif böleni vardır? b) Kaç tane tamsayı böleni vardır? Çözüm: a) 120 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli 120 = 23 . 31. 51 olduğundan pozitif bölenlerinin sayısı ( 3 + 1) . ( 1 + 1 ) . ( 1 + 1 ) = 4 . 2 . 2 = 16 dır. b) 120 sayısının tüm bölenlerinin sayısı pozitif bölenlerinin sayısının 2 katı olduğuna göre 2 . 16 = 32 dir. Örnek 2: 500 . 5y sayısının asal olmayan 40 tane tamsayı böleni varsa y kaçtır? Çözüm: 500 . 5y = 22 . 53 . 5y = 22 . 53 + y 2 tane asal böleni olduğundan tüm bölenlerinin sayısı 40 + 2 = 42 dir. Buradan pozitif bölenlerinin sayısı tüm bölenlerinin sayısının yarısı olduğundan 21 = ( 2 + 1 ) . ( 3 + x + 1 ) 21 = 3 . ( 4 + x ) 21 = 12 + 3x 3x = 21 - 12 3x = 9 x = 3 olur. OBEB (ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ) OBEB iki veya daha çok sayıyı aynı anda bölebilen en büyük sayıdır. Verilen sayıların OBEB' ini bulmak için sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve ortak asal çarpanların en küçük üsleri alınır. 1. Aralarında asal iki sayının OBEB' i 1' dir. Yani a ile b aralarında asal iki sayı ise (a b)OBEB = 1 dir. 2. Aynı zamanda ikiden çok sayıdaki sayılardan en az iki tanesi aralarında asal ise bu sayıların OBEB' i 1' dir. Yani a b c d e sayılarından a ile b aralarında asal ise (a b c d e)OBEB = 1 dir. 3. İki veya daha fazla sayının ortak tam bölenlerinin sayısı OBEB' inin bölenlerinin sayısına eşittir. 4. Ardışık iki sayma sayısının OBEB' i 1' dir. Yani a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere (a b)OKEK = 1 dir. Örnek 1: 18 30 42 sayılarının OBEB' i kaçtır? Çözüm: 1. Yol: 18 30 ve 42 sayılarının üçünü birden bölen sayılar 2 ve 3 tür. Dolayısıyla (18 30 42)OBEB = 2 . 3 = 6 dır. 2. Yol: 18 = 2.32 30 = 2.3.5 42 = 2.3.7 Her üç sayının ortak asal çarpanlarının en küçük üslüsü alınmalıdır. Dolayısıyla (18 30 42)OBEB = 2.3 = 6 dır. Örnek 2: 100 ile 120 sayılarının OBEB' i kaçtır? Çözüm: 100 = 22.52 120 = 23.3.5 Her iki sayının ortak asal çarpanlarının en küçük üslüsü alınmalıdır. Dolayısıyla (100 120)OBEB = 22.5 = 20 dir. Örnek 3: 6 15 ve 29 sayılarının OBEB' i kaçtır? Çözüm: İkiden çok sayıdaki sayıların en az iki tanesi aralarında asal ise bu sayıların OBEB' i 1 olduğundan verilen sayılardan 6 ile 29 sayısı veya 15 ile 29 sayısı aralarında asal olduğu için (6 15 29)OBEB = 1 dir. Örnek 4: 100 ile 120 sayılarının ortak tam bölenlerinin sayısı kaçtır? Çözüm: (100 120)OBEB = 22.51 = 20 olduğundan pozitif bölenlerinin sayısı ( 2 + 1) . ( 1 + 1 ) = 3 . 2 = 6 bulunur. Buradan tüm bölenlerin sayısı pozitif bölenlerin sayısının iki katına eşit olduğundan 2 . 6 = 12 olur. Örnek 5: Boyutları 9 cm 12 cm 15 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi boş yer kalmayacak şekilde en büyük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir? Çözüm: Kutu en büyük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden 9 cm 12 cm 15 cm sayılarının OBEB' i bulunmalıdır. Bu nedenle (9 12 15)OBEB = 3 tür. Böylece en büyük boyutlu küpün bir kenarı = 3 cm olur. Bir kenarı 3 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = 9.12.15/3.3.3 = 3.4.5 = 60 tane olur. Örnek 6: Boyutları 24 m ve 60 m olan dikdörtgen şeklindeki bir arsanın çevresine eşit aralıklarla en az sayıda kaç ağaç dikilebilir?Çözüm: İki ağacın arasındaki uzaklık dikdörtgenin boyutlarının OBEB' i olur. Dolayısıyla (24 60)OBEB = 12 Ağaç Sayısı = Çevre / 12 = 2 . (24 + 60) / 12 = 84 / 6 = 14 dir. OKEK (ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ) İki veya daha çok sayının her birine bölünen en küçük sayıdır. Verilen iki veya daha çok sayının OKEK' ini bulmak için sayılar asal çarpanlarının kuvvetleri cinsinden yazılır ve ortak asal çarpanlarından üsleri en büyük olanlarla ortak olmayan asal çarpanlarının tümü alınarak çarpılır. 1. Aralarında asal sayıların OKEK' i bu sayıların çarpımlarına eşittir. Yani a ile b sayısı aralarında asal sayılar ise (a b)OKEK = a . b dir. 2. a ve b iki doğal sayı olmak üzere bu iki doğal sayının OBEB' i ile OKEK' inin çarpımı bu iki doğal sayının çarpımına eşittir. Yani a ve b doğal sayısı için a . b = (a b)OKEK . (a b)OBEB dir. 3. a b c d sayma sayıları olmak üzere (a/cb/d)OKEK = (a b)OKEK / (c d)OBEB dir. 4. a ve b iki doğal sayı olmak üzere (a b)OKEK = x ve (a b)OBEB = y ise a ile b sayılarının toplamının en büyük değeri x + ydir. 5. Ardışık iki sayma sayısının OKEK' i bu iki sayının çarpımına eşittir. Yani a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere (a b)OKEK = a . b dir. 6. a ile b sayma sayıları olmak üzere a < b ise (a b)OBEB <= a <= b <= (a b)OKEK dir. Örnek 1: 18 ile 45 sayılarının OKEK' ini bulunuz. Çözüm: 18 = 2 . 32 45 = 32 . 5 olduğundan (18 45)OKEK = 32 . 2 . 5 = 90 olur Örnek 2: a ve b doğal sayılarının OKEK' i 48 ve OBEB' i 8 ve bu sayılardan biri 16 ise diğer sayı kaçtır? Çözüm: a = 16 olsun. (16 b)OKEK = 48 ve (16 b)OBEB = 8 olduğuna göre a . b = (a b)OKEK . (a b)OBEB 16 . b = 48 . 8 b = 24 bulunur. Örnek 3: Herhangi iki doğal sayının OKEK' i 120 ve OBEB' i 8 olduğuna göre bu sayıların toplamı en çok kaç olabilir? Çözüm: İki doğal sayının toplamı en çok bu iki sayının OBEB' ile OKEK' inin toplamı kadar olabileceğinden 120 + 8 = 128dir. Örnek 4: Boyutları 2 cm 4 cm 6 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi boş yer kalmayacak şekilde en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir? Çözüm: Kutu en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden 2 cm 4 cm 6 cm sayılarının OKEK' i bulunmalıdır. Bu nedenle (2 4 6)OKEK = 12 tür. Böylece en küçük boyutlu küpün bir kenarı = 12 cm olur. Bir kenarı 12 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = 12.12.12/2.4.6 = 6.3.2 = 36 tane olur. Örnek 5: a b c asal sayılar olmak üzere x = a2 . b3 . c5 ve y = a5 . c2 ise (x y)OBEB = ? ve (x y)OKEK = ? bulunuz. Çözüm: (x y)OBEB = a2 . c2 = (a . c)2 (x y)OKEK = a5 . b3 . c5olur. Örnek 6: Ayşe toplarını 2' şer 2' şer 4' er 4' er 6' şar 6' şar sayarsa her defasında 1 top artıyor. Ayşe' nin en az kaç topu vardır? Çözüm: Top sayısı = (2 4 6)OKEK + 1 = 12 + 1 = 13 tür. Örnek 7: 2 3 4 sayılarına bölündüğünde 1 kalanını veren en büyük 2 basamaklı doğal sayı kaçtır? Çözüm: [(2 3 4)OKEK] . k + 1 <= 99 24 . k + 1 <= 99 k = 4 olur. Buradan sayı 24 . 4 + 1 = 96 + 1 = 97 bulunur. Örnek 8: İki yangın sireni 5/7 7/8 saat aralıklarla alarm vermektedirler. Bu iki yangın sireni aynı anda en son Cuma günü sabah 04.00' de alarm verdiklerine göre hangi gün saat kaçta tekrar birlikte alarm verirler? Çözüm: Yangın sirenleri 5/7 7/8 sayılarının OKEK' lerinde aynı anda alarm verirler. Dolayısıyla (5/7 7/8)OKEK = (5 7)OKEK / (7 8)OBEB = 35 / 1 = 35 saat sonra tekrar alarm verirler. O halde Cumartesi günü saat 15.00' de tekrar alarm vereceklerdir. Örnek 9: Bir a doğal sayısı 5/3 6 sayılarına bölündüğünde sonuç tamsayı olduğuna göre bu koşula uyan en küçük a sayısı kaçtır? Çözüm: 5/3 ile 6' nın OKEK' ini bulmalıyız. Bu takdirde (5/3 6)OKEK = (5 6)OKEK / (3 1)OBEB = 30 / 1 = 30 olur. Örnek 10: OKEK' i 7 olan a ve b doğal sayılarının toplamlarının en küçük ve en büyük değerlerinin çarpımı kaç olur? Çözüm: (a b)OKEK = 7 ve sayıların farklı olmadıkları söylenmediğine göre a = 7 ve b = 7 alınabilir. Bu durumda a ile b' nin toplamının en büyük değeri a + b = 7 + 7 = 14 ... (1) olur. Diğer taraftan a = 1 ve b = 7 alınırsa a ile b' nin toplamının en küçük değeri a + b = 1 +7 = 8 ... (2) olur. Buradan (1) ile (2) nin çarpımı 14 . 8 = 112 bulunur.

27-01-2008, 01:26	#2 (permalink)
~~ERZRM==>25~~	Cevap: Asal Sayılar, OBEB ve OKEK Kardeş bir sürü konu eklenmişsin çok saol bizler için gerçekten çooook önemli konular.