O'NEAL

1 Asal Halkalarda Türevler

R bir halka ve d : R ® R bir dönüşüm olsun. Aşağıdaki koşullar varsa d ye R de bir türev denir. " x , y Î R için,
(a) d (x + y) = d (x) + d ( y )
(b) d (x y) = d (x) y + x d ( y )

Türevli halkalarda ilk çalışma 1957 de Posner, E. C. tarafından başlatılmıştır.

2.1.1 Posner, E. C., 1957

Tanım 2.1.1.1: R asal halkadır. Û " a Î R için xay = 0 Þ x = 0 veya y = 0 dır.
Lemma 2.1.1.1: R bir asal halka d, R nin bir türevi ve aÎ R olsun. Buna göre "xÎ R için ad(x) = 0 Þ a = 0 veya d = 0 dır.
Lemma 2.1.1.2: R bir asal halka ve R nin p, q, r elemanları "a Î R için paqar = 0 şeklinde olsun. Bu takdirde p, q, r ler den en az biri sıfırdır.
Teorem 2.1.1.1: R, charR ¹ 2 olan bir asal halka, d ile d , R nin türevleri ve d d yine bir türev olsun. Bu taktirde d ve d den en az biri sıfırdır.
Lemma 2.1.1.3: R bir asal halka ve d , " a Î R için [a,d(a)] = 0 olacak biçimde R nin bir türevi olsun. Bu durumda R komütatif veya d sıfırdır.
2.1.2 Herstein, I. N., 1978

Teorem 2.1.2.1: R herhangi bir halka, d ¹ 0 olacak şekilde d, R nin bir türevi olsun. Bu durumda A, bütün rÎR için d(r) tarafından üretilen R nin alt halkası , R nin sıfırdan farklı bir idealini kapsar.
Teorem 2.1.2.2: R bir asal halka, d sıfırdan farklı " x, y Î R için , [d(x) ,d(y)] = 0 olacak biçimde R nin bir türevi olsun. Bu durumda eğer char R ¹ 2 ise, R komütatif tamlık bölgesi ve eğer char R = 2 ise, R komütatif veya R merkezi üzerinde 4-boyutlu basit cebirdir.
R bir halka ve a, R nin sabit bir elemanı olmak üzere d : R ® R dönüşümü "xÎ R için d (x)= [a,x] olarak tanımlansın. Bu d dönüşümüne, R nin a elemanı tarafından belirlenmiş bir iç-türevi denir.

2.1.3 Herstein, I. N., 1979

Teorem 2.1.3.1: R bir asal halka ve d, R nin sıfırdan farklı türevi ve "xÎ R için [a,d(x)] = 0 olacak şekilde aÎ R olsun.
(i) Eğer char R ¹ 2 ise aÎZ dir.
(ii) Eğer char R = 2 ise, bu durumda a Î Z dir.
Üstelik a Ï Z olduğunda "x Î R için l, R nin genişletilmiş merkezinde olmak üzere d, d(x) = (la)x – x(la) ile tanımlanan bir iç türevdir.
Lee, P.H. ve Lee, T.K. Teorem 2.1.2.2. ve Teorem 2.1.3.1. i aşağıdaki gibi biraz daha genişletmiştir.

2.1.4 Lee, P. H. and Lee, T. K., 1981

Teorem 2.1.4.1: d sıfırdan farklı R asal halkasının bir türevi , char R ¹ 2 ve [a, d(R)] Í Z olacak şekilde aÎ R olsun . Bu durumda aÎ Z dir.
Teorem 2.1.4.2: d sıfırdan farklı R asal halkasının bir türevi ve char R ¹ 2 olsun.Eğer [d(R) , d(R)] Í Z Þ R komütatiftir.
Teorem 2.1.4.3: d sıfırdan farklı R asal halkasının bir türevi ve char R ¹ 2 olsun.Eğer d (R) Í Z Þ R komütatiftir.
Teorem 2.1.4.4: d ve d char R ¹ 2 olan R asal halkasının iki türevi olsun. Eğer d d (R) Í Z Þ R komütatiftir.
Teorem 2.1.4.5: d sıfırdan farklı R asal halkasının bir türevi ve char R ¹ 2 olsun. Eğer "xÎ R için [ x, d(x)] Î Z Þ R komütatiftir.

2.1.5 Gıambruno, A. and Hersteın, I. N., 1981

Önerme 2.1.5.1: Eğer d , R asal halkasının sıfırdan farklı bir türevi ise bu durumda R nin tek yanlı (sağ-sol) ideali üzerinde d vardır ve sıfırdan farklıdır.
Teorem 2.1.5.1: Eğer R bir asal halka ve d R nin bir türevi olsun. Eğer "xÎ R için n 1 sabit bir tamsayısı olmak üzere, d(x) = 0 Þ d = 0 dır.
Teorem 2.1.5.2: R bir asal halka , I sıfırdan farklı R nin bir ideali ve d R nin bir türevi olsun. Eğer "xÎ I için n 1 sabit bir tamsayısı olmak üzere d(x) = 0 ise d = 0 dır.
Teorem 2.1.5.3: Eğer R bir yarı–asal halka ve d R nin bir türevi öyleki "xÎR için d(x) = 0 Þ d = 0 dır.
Mayne, J.H. türevli halkalarda yapılan çalışmalarda çok sık kullanılan aşağıdaki özellikleri ifade ederek Lemma 2.1.1.3.ü Teorem 2.1.6.1. ile R nin sıfırdan farklı bir I idealine genelleştirdi.

2.1.6 Mayne, J. H., 1984

Lemma 2.1.6.1: Eğer d , R asal halkasının sıfırdan farklı bir türevi ise, d(R) nin sağ ve sol çarpanları sıfırdır. Özel olarak a[b,R] = 0 veya [b,R]a = 0 ise I = 0 (bÎ Z ) veya a = 0 dır.



Lemma 2.1.6.2: I, R asal halkasının sıfırdan farklı sağ ideali olsun.
(i) Eğer R nin I da sıfır olan bir d türevi varsa d , R de de sıfırdır.
(ii) Eğer R nin I da birim olan bir T homomorfizmi varsa T aynı zamanda R de de birim olur.
Lemma 2.1.6.3: Eğer R asal halkası, sıfırdan farklı I komütatif sağ idealini kapsıyorsa, R komütatiftir.
Lemma 2.1.6.4: b ve ab, R asal halkasının merkezinde olsun.Eğer b ¹ 0 ise a Î Z dir.
Lemma 2.1.6.5: R , char R ¹ 2 olan bir asal halka ve U R nin Jordan althalkası olsun. Eğer d bir Jordan türevidir öyleki "x Î U için [ x, d(x) ]Î Z ise "xÎ U için [ x , d(x) ] = 0 dır.
Lemma 2.1.6.6: I, R asal halkasının bir sağ ideali olsun. Eğer d, R nin bir türevi öyle ki "x Î I için [ x , d(x) ]ÎZ ise "xÎ I için [x , d(x)] = 0 dır.
Teorem 2.1.6.1: R bir asal halka ve I , R nin sıfırdan farklı bir ideali olsun.Eğer d, R nin bir türevi, öyle ki "xÎI için [x , d(x) ]ÎZ ise, R komütatiftir.


2.2 Asal Halkalarda Yarı – Türevler

Bu kısımda Bergen, J. tarafından tanıtılan yarı-türevin tanımı verildikten sonra bu konuda yapılan çalışmaların bir özeti sunulacaktır.
R bir halka olsun. f: R ® R toplamsal fonksiyonu, g : R ® R fonksiyonu ile birlikte göz önünde bulundurulduğunda aşağıdaki şartlar sağlanıyor ise bir yarı- türev olarak adlandırılır. "x , y Î R için ,
(a) f(xy) = f(x)g(y) + xf(y) = f(x)y + g(x)f(y)
(b) f(g(x)) = g(f(x))
Her türev bir yarı-türevdir ama tersi daima doğru değildir. Örneğin , g ¹1 olacak şekilde R nin bir homomorfizmi ise o zaman f = g -1 bir yarı-türevdir fakat bir türev değildir.
Bundan sonraki kısım için; R bir asal halka ve f ¹ 0, g örten fonksiyonu ile birlikte R nin yarı-türevi olarak alınacaktır.
Chang, J. C. türevli halkalardaki çok iyi bilinen bazı özellikleri yarı-türeve şöyle genelleştirmiştir .

2.2.1 Chang, J. C., 1984

Lemma 2.2.1.1: R bir asal halka, aÎ R ve f sıfırdan farklı olsun. Eğer "xÎ R için af(x) = 0 (f(x)a = 0 ) ise a = 0 dır.
Teorem 2.2.1.1: f sıfırdan farklı, g (örten olması gerekmeyen) fonksiyonu ile birlikte R asal halkasının yarı-türevi olsun. Bu durumda g, R nin homomorfizmidir.
Lemma 2.2.1.2: R bir asal halka olsun. Eğer f sıfırdan farklı ve f(R)Ì Z ise, bu durumda R bir komütatif tamlık bölgesidir.
Teorem 2.2.1.2: R bir asal halka olsun. Farzedelim ki, f sıfırdan farklı ve [f(R),f(R)]= 0 olsun. Bu durumda charR ¹ 2 ise, R komütatif tamlık bölgesidir. Eğer charR = 2 ise R komütatiftir veya merkezi üzerinde 4 boyutlu basit cebirdir.
Teorem 2.2.1.3: R bir asal halka, f sıfırdan farklı ve aÎ R için af(R)Ì Z olsun. Bu durumda a = 0 veya R komütatiftir.
Sonuç 2.2.1.1: d R asal halkasının sıfırdan bir farklı türevi ve ad(R)Ì Z olacak şekilde aÎ R olsun. Bu durumda a = 0 veya R komütatiftir.
Sonuç 2.2.1.2: R bir asal halka, g ¹ 1 epimorfizm olsun. Eğer "xÎ R için a(g(x)-x)Î Z olacak şekilde aÎ R ise, a = 0 veya R komütatiftir.
Teorem 2.2.1.4: f sıfırdan farklı ve [ a , f(R )] = 0 olacak şekilde aÎ R olsun. Bu takdirde aÎ Z dir.
Teorem 2.2.1.5: f sıfırdan farklı ve [ a , f(R) ]Ì Z olacak şekilde aÎ R olsun. Bu takdirde aÎ Z dir.
Teorem 2.2.1.6: Eğer f, [f(R) , f(R)]Ì Z olacak şekilde sıfırdan farklı ise, bu takdirde R komütatiftir.
Teorem 2.2.1.7: f sıfırdan farklı olsun. Eğer f (R)Ì Z ise, R komütatiftir.
Teorem 2.2.1.8: R bir asal halka olsun. f , f R nin g , g epimorfizmleri ile birlikte sıfırdan farklı R de iki yarı-türevler olsun. Eğer f f (R)Ì Z ise, bu durumda R komütatiftir.
Teorem 2.2.1.9: R, charR ¹ 2 olan bir asal halka, f sıfırdan farklı , g epimorfizmi ile birlikte R nin yarı-türevi olsun. Eğer "aÎ R için [a , f(a) ]Î Z ise, R komütatiftir.
Sonuç 2.2.1.3: g ¹ 1 , charR ¹ 2 olan R asal halkasının epimorfizmi olsun. Eğer "xÎR için [x , g(x) ]Î Z ise, R komütatiftir.

2.2.2 Bell, H. E. and Martindale, W. S., 1988

Lemma 2.2.2.1: R , charR ¹ 2 olan bir asal halka ve f sıfırdan farklı, R nin bir yarı- türevi ve U¹ ( 0 ) R nin bir ideali olsun. Bu durumda f(U) ¹ 0 dır.
Lemma 2.2.2.2: R, bir asal halka ve f sıfırdan farklı , R nin bir yarı- türevi ve U¹(0) R nin bir ideali olsun. aÎ R için af(U) = 0 ise a = 0 dır.
Lemma 2.2.2.3: R , bir asal halka ve f sıfırdan farklı , R nin bir yarı-türevi ,g bire- bir, U¹ (0 ) R nin bir ideali olsun. Bu durumda f(U)Ì Z ise R komütatiftir.
Chuang, C.L. yarı- türevli halkaların aşağıdaki gibi iki yapıda olabileceğini ifade etti.

2.2.3 Chuang, C. L., 1990

Lemma 2.2.3.1: R bir asal halka , g R nin bir endomorfizmi ve f R nin g ile belirlenmiş bir yarı-türevi olsun. O zaman aşağıdakilerden biri sağlanır.
(i) Her xÎ R için f(x) = l (x – g (x)) olacak şekilde l R nin genişletilmiş merkezindedir.
(ii) g birim dönüşümdür. Yani f bir türevdir.








2.3 Asal Halkalarda (s,t) – Türevler

Bu kısımda Hirano, Y. ve Tominaga, H. tarafından ilk kez verilen (s,t)-türevin tanımı ve bazı gösterimler tanıtıldıktan sonra , bu konuda yapılan çalışmaların bir özeti verilecektir.
R bir halka olsun. s ve t, R nin halka otomorfizmleri olmak üzere d : R® R dönüşümü aşağıdaki koşulları sağlıyorsa d ye R nin bir (s,t )-türevi denir."x,yÎ R için,
(a) d(x + y) = d(x) + d(y),
(b) d(xy) = d(x) s(y) + t(x) d(y).
R , bir halka olmak üzere C ={c ÎR½ cs(x) = t(x)c , "xÎR } kümesine R nin (s,t)-merkezi denir. x , y Î R olmak üzere,
[x,y] = xs(y) - t(y)x ve (x,y) = xs(y) + t(y)x
olsun. Buna göre 1:R R birim dönüşüm olmak üzere C = C ,
[x,y] = xy – yx = [x,y] ve
(x,y) = xy + yx = (x,y)
olduğu açıktır.

2.3.1 Hirano, Y. and Tominaga, H., 1984

Önerme 2.3.1.1: d sıfırdan farklı, R asal halkasının (s ,1 )-türevi ve U sıfırdan farklı, R nin bir ideali olsun. Bu durumda aşağıdakiler denktir.
(i) R komütatiftir.
(ii) "uÎ U için [d(u),u] = 0 dır.
Önerme 2.3.1.2: d , R asal halkasının ( s,t )-türevi ve U sıfırdan farklı , R nin bir ideali olsun. "uÎ U için [d(u),u] = 0 ise, R komütatiftir ve s = t dir.
Teorem 2.3.1.1: d , charR ¹ 2 olan R asal halkasının sıfırdan farklı ( s,t )-türevi olsun. Bu durumda "uÎ U için [d(u),u] = 0 dır. Û [d(u),u]Î C dir.

2.3.2 Argaç, N., Kaya , A. and Kısır , A., 1987

Burada R bir asal halka, I sıfırdan farklı R nin bir sağ ideali ve s, t R nin iki halka otomorfizmleri olsun. d R nin bir ( s,t )-türevi olmak üzere aşağıdaki koşulları ele alalım.
(a) R komütatiftir ve s = t dur.
(a*) R , char R = 2 olan komütatif halkadır ve s = t dur.
(b) "aÎ I için [d(a) ,a] = 0 dır.
(c) "aÎ I için (d(a) ,a) = 0 dır.
(d) "aÎ I için [d(a) ,a] Î C dur.
(e) "aÎ I için (d(a) ,a) Î C dur.
(f) "aÎ I için [d(a) ,a] Î C veya "aÎ I için (d(a) ,a) Î C dur.
Teorem 2.3.2.1: R asal halka , d R nin sıfırdan farklı bir (s,t) türevi ve I ¹ (0) R nin bir sağ ideali olsun .Bu durumda (a) ile (b) ve (a*) ile (c) birbirine denktirler.
Teorem 2.3.2.2: R , char R¹ 2 olan bir asal halka d, R nin sıfırdan farklı bir (s ,t) türevi ve I sıfırdan farklı , R nin bir sağ ideali olsun. Buna göre (a), (b), (d) ve (e) birbirine denktirler.
Teorem 2.3.2.3: R, char R¹ 2 olan bir asal halka d, R nin sıfırdan farklı bir (s,t)- türevi ve I sıfırdan farklı, R nin bir ideali olsun. Buna göre (a) , (b) , (d) , (e) ve (f) birbirine denktirler.
Önerme 2.3.2.3: R , char R = 3 olan bir asal halka , I R nin sıfırdan farklı bir ideali ve t R nin bir otomorfizmi olmak üzere , d R nin (1, t )- türevi olsun. O zaman (a), (b), (d), (e) ve (f) birbirine denktirler.

2.3.3 Kaya, K., 1988

Lemma 2.3.3.1: R bir asal halka, d R nin sıfırdan farklı bir ( s, t )-türevi ve U, R nin sıfırdan farklı bir ideali olsun. Buna göre " u Î U için ( d(u), u) = 0 ise R komütatiftir.
Lemma 2.3.3.2: R bir asal halka, d R nin sıfırdan farklı ( s, t )-türevi ve U, R nin sıfırdan farklı bir sağ ideali olsun. Buna göre "uÎ U için,
(i) [d(u),u] = 0 ise R komütatiftir.
(ii) ( d(u), u) = 0 ise R komütatiftir. Üstelik s = t dır.
Lemma 2.3.3.3: R bir asal halka, d R nin bir (s ,t ) - türevi ve b, abÎC ise bu taktirde aÎ C veya b = 0 dır.
Lemma 2.3.3.4: R, charR ¹2 bir asal halka, d R nin sıfırdan farklı ( s,t ) - türevi ve U, R nin sıfırdan farklı bir sağ ideali olsun. Buna göre "u Î U için [d(u),u] Î C ise bu taktirde [d(u) ,u] = 0 dır.

2.3.4 Yenigül, M. Ş., 1989

Yenigül , M.Ş. aşağıdaki çalışmasında Lemma 2.1.1.1. ve Lemma 2.1.6.2-(i) yı R nin bir ( s, t ) – türevine şöyle genelleştirmiştir:
Lemma 2.3.4.1: R bir asal halka, s ve t R nin birer halka otomorfizmleri olmak üzere d R nin bir ( s , t ) – türevi olsun. Bu takdirde,
(i) d (R) nin sağ ve sol sıfırlayanı sıfırdır.
(ii) U , R nin sıfırdan farklı bir ideali ve d U üzerinde aşikar (trivial) ise R üzerinde de aşikardır.
Lemma 2.3.4.2: R bir asal halka, s ve t R nin birer halka otomorfizmleri olmak üzere d R nin bir ( s , t ) – türevi olsun. a ile b R nin ab=0 ve bÎ C olacak şekilde iki elemanı ise a = 0 veya b = 0 dır.

2.3.5 Kaya, K., 1991

R bir asal halka olsun.
Lemma 2.3.5.1: d : R R bir (s ,t)- türev ve a , R nin bir halka otomorfizmi olmak üzere d : R R bir (a,a)- türev, d a = ad , d a = a d olsun. Buna göre, d (U) U ve d d (U) = 0 ise d = 0 veya d = 0 dır.
Sonuç 2.3.5.1: U sıfırdan farklı R nin bir ideali ve a, bÎ U olsun. Buna göre, "xÎU için [a,[b,x]] = 0 ise aÎ C veya bÎ Z dir.
Lemma 2.3.5.2: R char R¹ 2 olan bir asal halka, d R nin sıfırdan farklı bir (s ,t)- türevi ve U sıfırdan farklı R nin bir ideali olsun. Bu durumda aÎ U için [d(U), a] C ise aÎ Z dir.
Lemma 2.3.5.3: d: R R sıfırdan farklı bir (s ,t)- türev ve U sıfırdan farklı R nin bir ideali olsun. Eğer d(U) U ve [d(U),d(U)] C ise bu takdirde R komütatiftir.
Teorem 2.3.5.1: d : R R sıfırdan farklı bir (s ,t)- türev ve d : R R sıfırdan farklı bir türev olsun. Eğer U sıfırdan farklı R nin bir ideali ve d (U) U iken d d (U) C ise R komütatiftir.

2.3.6 Aydın, N., Kaya, K., 1992

R bir asal halka d, R nin bir (s ,t)- türevi ve U sıfırdan farklı R nin bir ideali olsun.
Lemma 2.3.6.1: Eğer d (U) Z ise R komütatiftir.
Lemma 2.3.6.2: Eğer aÎR için ad(U) = 0 ( d(U)a = 0 ) ise a = 0 veya d = 0 dır.
Lemma 2.3.6.3: Eğer d(U) = 0 ise d = 0 dır.
Teorem 2.3.6.1: Eğer char R ¹ 2 ve d sıfırdan farklı olmak üzere aÎ R için [d(U), a] = 0 ise aÎZ dir.
Lemma 2.3.6.4: Eğer char R ¹ 2 ve d sıfırdan farklı olmak üzere aÎR için ad(U) C ise a = 0 veya R komütatiftir.
Lemma 2.3.6.5: Eğer char R ¹ 2 ve d sıfırdan farklı olmak üzere aÎ R için [d(R), a] C ise aÎ Z dir.





2.4 Asal Halkalarda a - Türevler

Bu kısımda Chang, J.C. tarafından tanıtılan a -türevin tanımı ve geçecek olan gösterimler verildikten sonra bu konuda yapılan çalışmaların bir özeti sunulacaktır.
R bir halka ve a R nin sıfırdan farklı bir dönüşümü olsun. d: R R toplamsal fonksiyonu " x, yÎ R için, d(xy) = d(x)a(y) + xd(y) koşulunu sağlıyorsa d ye R nin bir zayıf-a -türevi denir. Üstelik a R nin bir endomorfizmi ise bu takdirde d ye a -türev denir.
Her türev bir a - türevdir ve dolayısıyla bir zayıf -a -türevdir. s ve t R nin halka otomorfizmleri olmak üzere d: R R toplamsal fonksiyonu bir (s,t) -türev ise bu takdirde t d , R nin bir a =t s türevidir.
Örnek : Eğer I, tamsayılar kümesi olmak üzere; R= bir halka,
: R R d: R R

dönüşümler olmak üzere d bir a -türevdir.
Bu kısım boyunca a sıfırdan farklı R de bir örten fonksiyon, C halkanın merkezi, C = {cÎR½ ca(x) = xc , xÎR } ve [x,y] = xa(y) - yx olarak alınacaktır. Buna göre 1: R R birim dönüşüm olmak üzere C = C ve [x,y] = xy - yx = [x,y] olduğu açıktır. Ayrıca,
(a) [x,yz] = [x,y] a(z) + y[x,z] ve
(b) [xy,z] = x [y,z] + [x,z]y bağıntıları sık sık kullanılacaktır.

2.4.1 Kaya, K., 1987

Lemma 2.4.1.1: R, char R¹2 olan bir asal halka, d R nin sıfırdan farklı bir a - türevi ve U, R nin bir Jordan ideali olsun. Buna göre, uÎ U için ud(u) = d(u)a(u) = 0 ise U = 0 dır.
Lemma 2.4.1.2: R , char R¹2 olan bir asal halka, d: R R bir a - türev ve U, R nin bir Jordan ideali olsun. Buna göre, uÎ U için [d(u),u] ÎC ise [d(u),u] = 0 dır.
Lemma 2.4.1.3:R , char R¹2 olan bir asal halka, d R nin sıfırdan farklı bir a-türevi ve U, R nin bir Jordan ideali olsun. Buna göre, uÎ U için [d(u), u] ÎC ise U C dir.
Teorem 2.4.1.1: R , char R¹2 olan bir asal halka, d R nin sıfırdan farklı bir (1, t)-türev ve U, R nin bir Jordan ideali olsun. Buna göre, uÎ U için [d(u), u] ÎC ise U C dir.
Kaya, K. türevli halkalarda yapılan bazı çalışmaları R nin zayıf -a - türevi için yapmıştır.

2.4.2 Kaya, K., 1988

Teorem 2.4.2.1: R , char R¹ 2 olan bir asal halka , d R nin sıfırdan farklı bir zayıf -a - türevi, da = ad ve U sıfırdan farklı R nin bir ideali olsun. Buna göre, [d(U), d(U) ] = 0 ise R komütatiftir.
Teorem 2.4.2.2: R , char R¹ 2 olan bir asal halka , d R nin sıfırdan farklı bir zayıf -a - türevi ve da = ad olsun. Buna göre, bir 0¹aÎR için ad(R) C ise R komütatiftir.
Şimdi bir asal halkada a -türev ve zayıf -a -türevin denkliğini veren aşağıdaki lemma ile başlayalım.

Lemma 2.4.2.1: R bir asal halka olsun. R deki sıfırdan farklı her zayıf-a - türev bir a - türevdir.
Lemma 2.4.2.2: R bir asal halka, d: R R bir a -türev ve aÎ R olsun. Buna göre,
(i) U sıfırdan farklı, R nin bir sağ ideali ve d(U) = 0 d = 0 dır.
(ii) U sıfırdan farklı, R nin bir ideali ve aÎ R için ad(U) = 0 a = 0 veya d = 0 dır.
(iii) d(R) a = 0 a = 0 veya d = 0 dır.
(iv) U sıfırdan farklı, R nin bir sağ ideali ve uÎU için [a,u] = 0 ise [a,x] = 0 dır.
(v) aÎ C ve abÎ C , bÎ R a = 0 veya bÎ C dir.
Bundan sonraki kısımda R bir asal halka ve a R de sıfırdan farklı örten olmak üzere, d R nin sıfırdan farklı bir zayıf -a - türevi olarak alınacaktır.
Lemma 2.4.2.3: U sıfırdan farklı, R nin bir sağ ideali ve d(U) C ise R komütatiftir.
Şimdi Teorem 2.1.3.1 in kısmen genelleştirilmesi olan aşağıdaki lemmayı verelim. Lemma 2.4.2.4: U sıfırdan farklı ,R nin bir ideali, a (U) ¹ 0, char R ¹ 2 ve da = ad olsun. aÎ R için [a, d(U)] = 0 ise aÎ C dır.
Teorem 2.4.2.3: U sıfırdan farklı, R nin bir ideali, char R ¹ 2 ve da = a d olsun. Buna göre [d(U), d(U)] = 0 ise R komütatiftir.
Şimdi de Teorem 2.1.1.1 i d d = 0 için aşağıdaki biçimde verelim.
Lemma 2.4.2.5: d : R R bir g-türev d : R R bir a -türev, d a = a d ve char R ¹ 2 olsun. Buna göre, d d = 0 ise d = 0 veya d = 0 dır.
Lemma 2.4.2.6: Her yÎ R için d(y)y = yd(y) ise, R komütatiftir.
Teorem 2.4.2.4: char R ¹ 2 ve da = a d olsun. Buna göre aÎR için ad(R) C ise a = 0 veya R komütatiftir.









2.5 Lie İdealler

Bu kısımda Bergen, J. tarafından tanıtılan Lie idealin tanımı verilerek bu konuyla ilgili yapılan çalışmaların kısa bir özeti sunulacaktır.

R bir halka, A R nin Lie alt halkası olsun. A nın bir U toplamsal alt grubu her bir uÎ U ve aÎ A için [u, a]Î U koşulunu sağlıyorsa U ya A nın Lie ideali denir.

2.5.1 Bergen, J., Herstein, I. N. and Kerr, J. W., 1981

R, char R¹2 olan bir asal halka ve Z R nin merkezi olsun.
Lemma 2.5.1.1: Eğer U Z R nin bir Lie ideali ise R nin bir M ideali vardır öyleki [M,R] U ancak [M,R] Z dir.
Lemma 2.5.1.2: Eğer U Z R nin bir Lie ideali ise C (U) = Z dir.
Lemma 2.5.1.3: Eğer U, R nin bir Lie ideali ise bu durumda C ([U,U]) = C (U) dur.
Lemma 2.5.1.4: Eğer U Z , R nin bir Lie- ideali olsun. Buna göre, aUb = 0 ise a = 0 veya b = 0 dır.

2.5.2 Awtar, R., 1984

Teorem 2.5.2.1: R , char R ¹ 2 olan bir asal halka ve U R nin bir Lie ideali olsun. Kabul edelim ki aÎ R öyleki uÎ U için [a,[a,u]]Î Z ise [a,U] = 0 dır.Ayrıca eğer U Z ise aÎ Z dir.
Teorem 2.5.2.2: R bir yarı-asal 2- torsion free halka ve U R nin bir Lie ideali olsun. Kabul edelim ki aÎ R öyleki uÎ U için [a,[a,u]]Î Z ise [a,U] = 0 dır.




2.6 Genelleştirilmiş Lie İdealler ( veya (s,t)-Lie İdealler)

R bir asal halka, U Tanım 1.21 de tanımlandığı gibi R nin genelleştirilmiş bir Lie ideali ve C R nin (s,t)- merkezini temsil edecektir.

2.6.1 Kaya, K., 1991

Teorem 2.6.1.1: R, char R ¹ 2 olan bir asal halka ve U, R nin (s,t) – sağ Lie ideali olsun. [U,U] C ise bu durumda U Z veya U C dur.
Sonuç 2.6.1.1: M sıfırdan farklı, char R¹2 olan bir R asal halkasının ideali ve [M,R] C ise R komütatiftir.
Sonuç 2.6.1.2: Her x, y, zÎ R için [[x,y] ,z] = 0 ise R komütatiftir.
Teorem 2.6.1.2: U sıfırdan farklı, R asal halkasının bir (s,t) – sağ Lie ideali ve hem de alt halkası ise bu takdirde U Z veya U C veya U, R nin sıfırdan farklı bir idealini kapsar.

2.6.2 Aydın, N. and Kandamar, H., 1994

R, char R¹2 olan bir asal halka olsun.
Lemma 2.6.2.1: U, R nin bir (s,t) – sağ Lie ideali ve aÎR olsun. [U,a] C ise aÎ Z veya U C dur.
Lemma 2.6.2.2: aÎ R öyleki aU = 0 ( veya Ua = 0 ) olsun.
(i) Eğer U, R nin bir (s,t) – sol Lie ideali a = 0 veya U Z dir.
(ii) Eğer U, R nin bir (s,t) – sağ Lie ideali a = 0 veya U C dir
Teorem 2.6.2.1: U, R nin bir (s,t) – sağ Lie ideali ve aÎ R olsun. [U,a] = 0 ise aÎ Z veya U C dur.
Sonuç 2.6.2.1: U, R nin bir (s,t) – sağ Lie ideali olsun. Eğer U komütatif ise U Z veya U C dur.
Teorem 2.6.2.2: U, R nin U Z ve U C olacak şekilde bir (s,t) – Lie ideali ise bu durumda, [R,M] U fakat [R,M] C olacak şekilde R nin sıfırdan farklı bir M ideali vardır.
Sonuç 2.6.2.2: U sıfırdan farklı, R nin U Z ve U C olacak şekilde bir (s,t)- Lie ideali ve a, bÎ R olsun. Bu durumda aUb=0 ise a = 0 veya b = 0 dır.

2.6.3 Aydın, N., 1997

Lemma 2.6.3.1: R bir asal halka ve U sıfırdan farklı R nin bir (s,t) – sol Lie ideali öyleki U C olsun. Bu durumda U Z dir.
Lemma 2.6.3.2: U, R asal halkasının bir (s,t) – sol Lie ideali olsun. Eğer U Z ise uÎU için s(u) = t(u) veya R komütatiftir.
Teorem 2.6.3.1: R bir asal halka ve U R nin bir (s,t) – sol Lie ideali olsun. Eğer [R,U] C ise uÎ U için s(u) = t(u) veya R komütatiftir.
Lemma 2.6.3.3: R bir asal halka ve U R nin bir (s,t)–sol Lie ideali olsun. Kabul edelim ki aÎ R olsun öyleki, [a,U] = 0 ve [a,U] = 0 ise uÎ U için s(u) + t(u)Î Z veya a = 0
Teorem 2.6.3.2: R, char R ¹ 2 olan bir asal halka ve U, R nin bir (s,t) – sol Lie ideali öyleki, [U,U] = 0 ve [U,U] = 0 ise U Z dir.
Lemma 2.6.3.4: R bir asal halka ve U hem R nin bir (s,t) – sol Lie ideali hemde R nin bir alt halkası olsun. Bu durumda uÎ U için s(u) + t(u)Î Z dir veya U R nin sıfırdan farklı bir sol idealini ve R nin sıfırdan farklı sağ idealini kapsar.
Teorem 2.6.3.3: R bir asal halka olsun. U, R nin bir (s,t) – sol Lie ideali öyleki, vÎ U için s(v) + t(v) Z olsun. Bu durumda R nin sıfırdan farklı bir A sol ideali ve B sağ ideali vardır öyleki, [R,A] U ve [R,B] U dur. Ancak [R,A] Z ve [R,B] Z dir.
Teorem 2.6.3.4: R bir asal halka olsun. U R nin bir (s,t) – sol Lie ideali öyleki vÎ U ve a, bÎ R için s(v) + t(v)ÏZ olsun. Eğer aUb = 0 a = 0 veya b = 0 dır.
Lemma 2.6.3.5: R, char R 2 olan bir asal halka olsun. Kabul edelim ki U R nin sıfırdan farklı bir (s,t) – sağ Lie ideali öyleki U Z olsun. Bu durumda s = t veya R komütatiftir.
Teorem 2.6.3.5: R, char R 2 olan bir asal halka olsun. Kabul edelim ki U R nin sıfırdan farklı bir (s,t) –Lie ideali öyleki U C ise s = t veya R komütatiftir.

2.6.4 Kaya, K. and Aydın, N., 1999

Burada 2.5.1 de verilen sonuçlar (s,t)- sol Lie idealler için genelleştirildi.
R, char R¹2 olan bir asal halka olsun.
Örnek:
R = bir halka
U = R ve b = Î R olmak üzere,
t : R R
x t(x) = bxb
olsun. Bu durumda U, R nin (1, t) – sol Lie idealidir. Ancak R nin Lie ideali değildir.
Lemma 2.6.4.1: R bir asal halka ve U, R nin sıfırdan farklı bir (s,t) –sol Lie ideali olsun. Eğer R nin bir a elemanı [a,U] = 0 aÎ Z veya uÎ U için s(u) + t(u)Î Z dır.
Sonuç 2.6.4.1: R bir asal halka ve U R nin sıfırdan farklı bir (s,t) – sol Lie ideali olsun. Eğer [U,U] = 0 uÎ U için s(u) + t(u)Î Z dır.
Lemma 2.6.4.2: U, R nin hem merkezde olmayan (s,t) – sol Lie ideali hem de bir alt halkası ve a, bÎ R olsun. Eğer aUb = 0 a = 0 veya b = 0 veya uÎ U için s(u) + t(u)Î Z dır.
Teorem 2.6.4.1: U, R nin merkezde olmayan ( s,t ) – sol Lie ideali ve bir alt halkası olsun . Bu durumda U, R nin sıfırdan farklı bir idealini kapsar veya uÎU için s(u) + t(u)Î Z dır.
Teorem 2.6.4.2: U, R nin merkezde olmayan (s,t) –sol Lie ideali olsun. O zaman R nin sıfırdan farklı bir M ideali vardır öyleki , [R,M] U ve [R,M] C veya uÎ U için s(u) + t(u)Î Z dır.