Bölme




A. BÖLME

A B C K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere

bölme işleminde

* A ya bölünen B ye bölen C ye bölüm K ya kalan denir.
* A = B . C + K dır.
* Kalan bölenden küçüktür. (K < B)
* Kalan bölümden (C den) küçük ise bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir.
* K = 0 ise A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.

B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1. 2 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

2. 3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.

3. 4 İle Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.

l... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.

4. 5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.

5. 7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan-1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için

k Î Z olmak üzere

(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ... = 7k

olmalıdır.

Ü Birler basamağı a0 onlar basamağı a1 yüzler basamağı a2 ... olan sayının 7 ile bölümünden kalan (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ... işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

6. 8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.

3000 3432 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.

Ü Birler basamağı c onlar basamağı b yüzler basamağı a ... olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölü-münden kalana eşittir.

7. 9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

8. 10 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.

9. 11 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... = 11 . k

ve k Î Z olmalıdır.

® (n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayı-sının 11 ile bölümünden kalan

(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.
Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.

* 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür.
* 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür.

C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A B C D E K1 K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere

A nın C ile bölümünden kalan K1 ve

B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.

Buna göre

* A . B nin C ile bölümünden kalan K1 . K2 dir.
* A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir.
* D . A nın C ile bölümünden kalan D . K1 dir.
* AE nin C ile bölümünden kalan K1E dir.

Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.
D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.

* 144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.
* 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.

E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının asal sayıların çarpımı biçiminde yazıl-masına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.

a b c birbirinden farklı asal sayılar ve m n k pozitif tam sayılar olmak üzere

A = am . bn . ck olsun.

* A yı tam bölen asal sayılar a b c dir.
* A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı: (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.
* A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaret-lileri de negatif tam bölenidir.
* A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:

2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

* A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
* A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı :



* A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
* A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı – (a + b + c) dir.
* A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:



* A sayısını pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: