Mantık Finali... ödüllü

[robertos]

10 arkadaş bir hafta sonra daha iyi hazırlanabilmek için beraberce karar alıp mantık dersi finalini kırarlar. Bunun üzerine mantık dersi hocası Ahmet Çokbilir onlarla konuşur ve finali ertesi hafta yapmayı kabul eder. Arkadaşlar harıl harıl çalışırlar ve finale gelirler. Finale geldiklerinde mantık hocası onlara şunu anlatır :


"sizi yan odadaki merdivene yukarıdan aşağıya dizeceğim. Hepinizin başına bir şapka koyacağım. Bu şapka siyah ya da beyaz olabilir. Toplamda herhangi bir sayıda siyah ya da beyaz şapka olabilir. Yani 10 beyaz 0 siyah beş siyah beş beyaz gibi. Herkesin kafasında şapka olacak. Bu şapka mutlaka ya siyah ya da beyaz olacak. Herkes önündeki şapkaları görebilir. Yani merdivenin en üstündeki önündeki dokuz şapkayı görebilir bir altındaki sekiz şapkayı görebilir vs. Şimdi biriniz hariç hepiniz kafanızdaki şapkayı doğru tahmin etmek zorundasınız. Yukarıdan aşağıya doğru tahminleri yapacaksınız. Sadece siyah yada beyaz diyeceksiniz. Başka herhangi bir şekilde haberleşmekkonuşmak yasak. Hazırlanmak için bir saat süreniz var. Eğer bilirseniz hepinize AA vereceğim. Eğer bilemezseniz hepiniz kalacaksınız."

Not.. en üsteki "siyah-ya da Beyaz diye tahmin eder" hoca da buna doğru ya da yanlış diye cevap verir..herkesin cevabını hoca onaylıyor doğru ya da yanlış diye

Evet bu arkadaşlar nasıl bir yol izlemeli ki hepsi birden geçebilsinler?
Ya da hepsi birden kalmaya mahkum mu?

Kolay gelsin arkadaşlar bileni repleyeceğim...

[cagritalha]

zor bi soru....

[SAAB]

Hazirlanmak icin verilen 1 saatlik surede su sekilde bir
plan yapmalidirlar. Oncelikle her bir sapka rengine mod 2
ye gore bir deger vermelidirler. Ornegin Siyah=0 Beyaz=1
alalim. Bu "wiseman"'in bize vermis oldugu ipucu idi (gerci
o siyahlari 1 beyazlari 0 olarak alin demis ama olsun cozum yontemi degismiyor).
Bundan sonraki cozumu aciklamak icin ornek bir dizilim
dusunmek iyi olcaktir bence. Ornegin arkadaslar en usttekinden
baslayarak su sekilde dizilmis olsunlar:
Siyah Beyaz Beyaz Siyah Beyaz Siyah Beyaz Beyaz Siyah Siyah
Oncelikle en arkadaki arkadas kendinden onceki 9 sapkayi
gorebildiginden bu 9 sapkanin degerlerini mod 2'ye gore toplar
(5 adet beyaz oldugundan bu toplamin mod 2'ye gore degeri 1 olmalidir).
Daha sonra bu toplamin degeri 1 oldugundan kendi kafasindaki sapka
da 1 degerine (beyaz) karsilik geliyormus gibi "Beyaz" cevabini verir.
Burada aslinda yaptigi arkadaslarina onundeki sapkalarin toplam degerini
bildirmektir. Ogretmen maalesef kendine yanlis cevap verdigini soyler.
Boylece ondeki 9 kisi en arkadaki arkadaslarinin kafasinda beyaz degil
de siyah sapka oldugunu anlarlar. Siyah sapkanin mod 2'ye gore degeri 0'a
esit oldugundan 10 sapkanin mod 2'ye gore toplam degeri de 1'e esit
olmalidir.
Simdi 2. siradaki arkadasa bakalim. En arkadaki arkadasin
sapkasinin renginin siyah oldugunu biliyor. Kendi onundeki diger 8
sapkanin mod 2'ye gore degerlerini toplarsa (4 beyaz 4 siyah) 0 degerini
elde eder. Oysa tum sapkalarin toplami mod 2'ye gore 1 olmalidir. Bu nedenle
kendi kafasindaki sapka da beyaz olmalidir ki toplamda mod 2'ye gore 1 degeri
elde edilsin. Bu nedenle de "Beyaz" cevabini verir ve ogretmen de dogru olarak
bildigini onaylar.
3. sirada bulunan arkadasa gelirsek kendinden once bir siyah bir de beyaz sapka
oldugunu biliyor. Kendi onunde de 3 adet beyaz ve 4 adet siyah sapka oldugunu
gormekte. Bu sapkalarin degerlerini mod 2'ye gore toplarsa 0 degerini elde
edecektir. Oysa tum sapkalarin toplam degeri mod 2'ye gore 1 olmalidir. Bu nedenle bu arkadas da kafasindaki sapkanin beyaz olmasi gerektigini ve boylece toplamda mod 2'ye gore 1 elde edilecegini bulur. Bu nedenle de "Beyaz" cevabini verir ve ogretmen de dogru olarak bildigini onaylar.
4. siradaki arkadasa bakacak olursak: Kendinden once 1 siyah ve 2 beyaz sapka
oldugunu bilmekte. Kendi onunde de 3 adet beyaz ve 3 adet siyah sapka oldugunu gormekte. Bu sapkalarin degerlerini mod 2'ye gore toplarsa 1 degerini elde edecektir. Zaten tum sapkalarin mod 2'ye gore toplam degeri de 1 olmalidir. Bu nedenle kendi kafasindaki sapka siyah olmalidir. Cunki siyah sapka mod 2'ye gore 0 degerine sahiptir ve sapkalarin toplam degerini artirmamaktadir. Buna gore 4. arkadas "Siyah" cevabini verir ve ogretmen de dogru olarak bildigini onaylar.
Bu sekilde en ondeki arkadasa kadar olan diger arkadaslar da kendilerinden onceki arkadaslarinin sapkalarinin renklerini (yani mod 2'ye gore degerlerini) hafizalarinda tutarak ve ondeki arkadaslarinin sapkalarinin mod 2'ye gore degerlerini de bunlara ilave ederek (yani sadece basit bir moduler aritmetik yaparak) kendi kafalarindaki sapkanin hangi renkte olmasi gerektigini bulabilirler. Verdigim ornekte ilk arkadas kafasindaki sapkayi yanlis tahmin ettiginden sonucta 9 adet dogru cevapla hepsi de AA almis olur.
Eger ilk arkadas dogru cevap vermis olsa idi ayni mantik yine gecerli
olacak ancak diger arkadaslar bu kez ondeki 9 sapkanin mod 2'ye gore degeri olan 1'e bir de ilk arkadasin kafasindaki sapka da beyaz olacagindan tum sapkalarin toplam degerini 1+1 = 0 (mod 2) olarak hesaplayip diger hesaplari da ayni mantikla bu yeni degere gore yapacaklardi. Sonucta ilk arkadasin dogru cevap verdigi durumda toplam 10 adet dogru cevap ile ve ilk arkadasin yanlis cevap verdigi durumda da toplam 9 adet dogru cevap ile tum arkadaslarin da AA almasi bahsettigim bu yontem ile garantilenmis olacaktir. Bunu izah etmek icin ornek bir dizilim uzerinden gitmem cozumun anlasilabilir olmasi icindi. Ancak tum dizilimler icin bu yontemle arkadaslarin her zaman AA almasi garanti edilebilir. Ve burada anlattiklarim matematiksel olarak formulize edilebilir.

[robertos]

Tebrikler Saab... doğru cevap ... repini gönderiyorum
gerçekten tebrik ederim....

[SAAB]

saol rep için

[robertos]

Saab repini şimdi gönderemiyorum yarın mutlaka gönderirim.. tekrar tebrikler

[SAAB]

boşver yarın gönderirsin

[cagritalha]

vay be ne cevapmış sağol

[robertos]

Cevap verildi... çöpe.... kendi konumu çöpe atıyorum